Diclib.com
ChatGPT AI Dictionary

Dictionary Lookup Custom Solutions

Enter a word or phrase in any language 👆

Language:

Translation and analysis of words by ChatGPT artificial intelligence

On this page you can get a detailed analysis of a word or phrase, produced by the best artificial intelligence technology to date:

how the word is used
frequency of use
it is used more often in oral or written speech
word translation options
usage examples (several phrases with translation)
etymology

What (who) is Показательная функция - definition

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ A^X

Потенцирование (математика); Антилогарифм

Показательная функция

экспоненциальная функция, важная элементарная функция (См. Элементарные функции)

f (z) = e^z,

обозначается иногда expz; встречается в многочисленных приложениях математики к естествознанию и технике. Для любого значения z (действительного или комплексного) П. ф. определяется соотношением

;

Очевидно, что e⁰ = 1; при n = 1 значение П. ф. равно е - основанию натуральных логарифмов. П. ф. обладает следующими основными свойствами:

и

при любых значениях z₁ и z₂, кроме того, на действительной оси (рис.) П. ф. e^x > 0 и при n → ∞ возрастает быстрее любой степени х, а при х → - ∞ убывает быстрее любой степени 1/x:

, ,

каков бы ни был показатель n. Функцией, обратной по отношению к П. ф., является Логарифмическая функция: если ω = e^z, то z = lnω.

Рассматривается также П. ф. a^z при основаниях а > 0, отличных от е [например, в школьном курсе математики для действительных значений z = х рассматриваются П. ф. 2^x, (¹/₂) ^x и т.д.]. П. ф. a^z связана с П. ф. e^z (основной) соотношением

a^z = e^zlna.

П. ф. e^x является целой трансцендентной функцией (См. Трансцендентные функции). Она допускает следующее разложение в степенной ряд:

, (1)

сходящийся во всей плоскости z. Равенство (1) также может служить определением П. ф.

Полагая z = х + iy, Л. Эйлер получил (1748) формулу:

e^z = e^x+iy = e^x(cosy + isiny), (2)

связывающую П. ф. с тригонометрическими функциями (См. Тригонометрические функции). Из неё вытекают соотношения:

,

.

Функции

ch y,

= sh y

называются гиперболическими функциями (См. Гиперболические функции), обладают рядом свойств, сходных со свойствами тригонометрических функций, и играют наряду с последними важную роль в различных приложениях математики.

Из соотношения (2) следует, что П. ф. (комплексного переменного z) имеет период 2πi, то есть e^z+2^πi = e^zили e²^πi = 1. Производная П. ф. равна самой функции: (e^z)' = e^z.

Указанными свойствами П. ф. определяются её многочисленные приложения. В частности, П. ф. выражает закон (т. н. закон естественного роста), определяющий течение процессов, скорость которых пропорциональна наличному значению изменяющейся величины; примером могут служить химические мономолекулярные реакции или, при известных условиях, рост колоний бактерий. Периодичность П. ф. комплексного переменного наряду с другими её свойствами является причиной, по которой эта функция играет исключительно важную роль при изучении всяких периодических процессов, в частности колебаний и распространения волн.

Рис. к ст. Показательная функция.

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

(экспоненциальная функция) , функция y = ex; обозначается иногда exp x; встречается в многочисленных приложениях математики. Рассматриваются также показательные функции ax при основаниях а > 0, а ? 1 [напр., 2х, (1/2)х и т. д.].

Показательная функция

Показательная функция — математическая функция f(x) = a^x, где a называется основанием степени, а x — показателем степени.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Показательная_функция

Wikipedia

Показательная функция

Показательная функция — математическая функция $f(x)=a^{x}$ , где $a$ называется основанием степени, а $x$ — показателем степени.

В вещественном случае основание степени $a$ — некоторое неотрицательное вещественное число (для отрицательных чисел возведение в вещественную нецелочисленную степень не определено), а аргументом функции является вещественный показатель степени.
В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.
В самом общем виде — $u^{v}$ , введена Лейбницем в 1695 г.

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной). При этом из-за того, что любое положительное основание $a$ может быть представлено в виде степени числа е, понятие «экспонента» часто употребляют вместо понятия «показательная функция».

https://ru.wikipedia.org/wiki/Показательная функция